Mnohouhelníky

Základní informace

  • Mnohoúhelník je část roviny omezená uzavřenou lomenou čárou, která sama sebe neprotíná
    • Vrcholy mnohoúhelníku jsou vrcholy lomené čáry
      • Z každého vrcholu vychází dvě úsečky, které ho spojují se dvěma sousedními vrcholy
    • Strany mnohoúhelníku jsou strany lomené čáry

Konvexní a nekonvexní mnohoúhelník

  • Konvexní je trojúhelní, pokud se spojnice jakýhkoliv jeho dvou bodů nachází ve mnohúhelníky, jinak je nekonvexní

Úhlopříčky a jejich počet

  • Úhlopříčka konvexního mnohoúhelníku je úsečka spojující dva nesousední vrcholy mnohoúhelníku.
  • Uvažujeme-li konvexní n-úhelník ($n \geq 3$), pak z každého vrcholu vychází $n-3$ úhlopříček
  • Počet všech úhlopříček konvexního n-úhelníku je: $$\frac{n \cdot (n-3)}{2}$$

Součet všech vnitřních úhlů

  • V konvexním n-úhelníku: $$(n-2) \cdot 180°$$

Pravidelné mnohoúhelníky

Vlastnosti

  • = Konvexní n-úhelník (kde n je počet vrcholů), který má všechny strany stejně dlouhé a všechny vnitřní úhly shodné
  • Délka úhlopříčky se rovná délce stran
  • Každý pravidelný n-úhelník lze rozdělit na n shodných rovnoramenných trojúhelníků, pro které platí:
    • Tyto trojúhelníky mají společný hlavní vrchol S, kterým je střed pravidelného mnohoúhelníku
      • Střed kružnice opsané a vepsané mnohoúhelníku
    • Ramena trojúhelníku jsou poloměry kružnice opsané
    • Výšky na základny jsou poloměry kružnice vepsané
    • Úhly u společného vrcholu mají velikost: $\large{\alpha = \frac{360°}{n}}$

Obvod a obsah

  • Obvod pravidelného n-úhelníku se stranou délky a je roven součinu velikosti jedné strany a počtu stran: $$o = n \cdot a$$
  • Obsah pravidelného n-úhelníku je roven součtu obsahů n shodných rovnoramenných trojúhelníků, na které lze tento n-úhelník rozdělit