Základní informace
- Mnohoúhelník je část roviny omezená uzavřenou lomenou čárou, která sama sebe neprotíná
- Vrcholy mnohoúhelníku jsou vrcholy lomené čáry
- Z každého vrcholu vychází dvě úsečky, které ho spojují se dvěma sousedními vrcholy
- Strany mnohoúhelníku jsou strany lomené čáry
- Vrcholy mnohoúhelníku jsou vrcholy lomené čáry
Konvexní a nekonvexní mnohoúhelník
- Konvexní je trojúhelní, pokud se spojnice jakýhkoliv jeho dvou bodů nachází ve mnohúhelníky, jinak je nekonvexní
Úhlopříčky a jejich počet
- Úhlopříčka konvexního mnohoúhelníku je úsečka spojující dva nesousední vrcholy mnohoúhelníku.
- Uvažujeme-li konvexní n-úhelník ($n \geq 3$), pak z každého vrcholu vychází $n-3$ úhlopříček
- Počet všech úhlopříček konvexního n-úhelníku je: $$\frac{n \cdot (n-3)}{2}$$
Součet všech vnitřních úhlů
- V konvexním n-úhelníku: $$(n-2) \cdot 180°$$
Pravidelné mnohoúhelníky
Vlastnosti
- = Konvexní n-úhelník (kde n je počet vrcholů), který má všechny strany stejně dlouhé a všechny vnitřní úhly shodné
- Délka úhlopříčky se rovná délce stran
- Každý pravidelný n-úhelník lze rozdělit na n shodných rovnoramenných trojúhelníků, pro které platí:
- Tyto trojúhelníky mají společný hlavní vrchol S, kterým je střed pravidelného mnohoúhelníku
- Střed kružnice opsané a vepsané mnohoúhelníku
- Ramena trojúhelníku jsou poloměry kružnice opsané
- Výšky na základny jsou poloměry kružnice vepsané
- Úhly u společného vrcholu mají velikost: $\large{\alpha = \frac{360°}{n}}$
- Tyto trojúhelníky mají společný hlavní vrchol S, kterým je střed pravidelného mnohoúhelníku
Obvod a obsah
- Obvod pravidelného n-úhelníku se stranou délky a je roven součinu velikosti jedné strany a počtu stran: $$o = n \cdot a$$
- Obsah pravidelného n-úhelníku je roven součtu obsahů n shodných rovnoramenných trojúhelníků, na které lze tento n-úhelník rozdělit
