Trojúhelníky

Základní vlastnosti trojúhelníku

Obsah trojúhelníku

1. Obecný vzorec

  • Obsah trojúhelníku ($S$) spočítáme tak, že velikost jedné strany vynásobíme velikostí příslušné výšky (tím vznikne kosodelník nebo něco takového) a vydělíme dvěma (jsme na trojúhelníku)

$$S = \frac{a \cdot v_a}{2} = \frac{b \cdot v_b}{2} = \frac{c \cdot v_c}{2}$$

2. Heronův vzorec

  • V případě, že známe velikost všech tří stran $a$, $b$, $c$ trojúhelníku $ABC$, jeho obsah můžeme spočítat pomocí vztahu:

$$S=\sqrt{s \cdot (s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-c)}$$

  • Kde $s=\frac{a+b+c}{2}$

3. Pomocí sinu úhlu

  • V případě, že v trojúhelníku známe délku dvou stran a velikost úhlu jimi sevřeného, pak můžeme obsah tohoto trojúhelníku vypočítat pomocí jednoho ze vztahů:
    • $\large{S=\frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot sin \alpha}$
    • $\large{S=\frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot sin \beta}$
    • $\large{S=\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin \gamma}$

4. Obsah pravoúhlého trojúhelníku

  • Pro obsah pravoúhlého trojúhelníku ABC, kde c je přepona a a, b jsou odvěsny, platí:

$$S=\frac{a \cdot b}{2}$$

Další vzorce pro výpočet obsahu trojúhelníku

  • (nepovinné)
    1. Rovnostranný trojúhelník
    • Obsah rovnostranného trojúhelníku $a$ můžeme spočítat podle vztahu:

$$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$

    1. Pomocí poloměru kružnice trojúhelníku opsané

$$S=\frac{abc}{4r}$$

    1. Pomocí poloměru kružnice trojúhelníku vepsané

$$S=r \cdot \frac{a+b+c}{2}$$

Shodnost trojúhelníků

  • = Dva trojúhelníky jsou shodné, jestliže přemístěním jednoho trojúhelníku na druhý oba splynou

Věta sss

  • Jestliže se dva trojúhelníky shodují v délkách všech tří stran, pak jsou shodné

Věta sus

  • Jestliže se dva trojúhelníky shodují v délkách dvou stran a v úhlu jimi sevřeném, pak jsou shodné

Věta Ssu

  • Jestliže se dva trojúhelníky shodují v délkách dvou stran a v úhlu proti delší z nich, pak jsou shodné

Podobnost trojúhelníků

  • $\triangle ABC$ je podobný $\triangle KLM$, jestliže existuje číslo $k$ tak, že:

$$|KL| = k \cdot |AB|$$ $$|LM| = k \cdot |BC|$$ $$|KM| = k \cdot |AC|$$

  • $k$ je poměr (koeficient) podobnosti $\triangle ABC$ a $\triangle KLM$

    • $k > 1$ => zvětšení
    • $k = 1$ => shodnost
    • $k < 1$ => zmenšení
  • Platí věty uu, sus, Ssu o podobnosti trojúhelníku

Goniometrické funkce

$$sin(\alpha) = \frac{\text{délka protilehlé odvěsny}}{\text{délka přepony}}$$

$$cos(\alpha) = \frac{\text{délka přilehlé odvěsny}}{\text{délka přepony}}$$

$$tan(\alpha) = \frac{\text{délka protilehlé odvěsny}}{\text{délka přilehlé odvěsny}}$$

  • $cot$ je v podstatě jen převrácený tangens.
$sin$$cos$$tan$$cot$
$0^\circ$$0$$1$$0$$\times$
$30^\circ$$\frac{1}{2}$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\sqrt{3}$
$45^\circ$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$1$$1$
$60^\circ$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$90^\circ$$1$$0$$\times$$0$

Inverzní goniometrické funkce

  • K nalezení úhlu díky poměru dvou stran
  • $sin^{-1}$, $cos^{-1}$, $tan^{-1}$, $cot^{-1}$

Euklidovy věty

  • Euklidova věta o výšce
    • $v_c^2 = c_a \cdot c_b$
      • => $v_c = \sqrt{c_b \cdot c_a}$
  • Euklidova věta o odvěsně
    • $a^2 = c \cdot c_a$
      • => $a=\sqrt{c \cdot c_a}$
    • $b^2 = c \cdot c_b$
      • => $b=\sqrt{c \cdot c_b}$